学习册 —— 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

23．综合与探究

如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC。 点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F。

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值。

【解答】解：（1）当y=0，x﹣4=0，解得x ₁=﹣3，x₂=4，

∴A（﹣3，0），B（4，0），

当x=0，y=x﹣4=﹣4，

∴C（0，﹣4）；

（2）AC==5，

易得直线BC的解析式为y=x﹣4，

设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），

当CQ=CA时，m²+（m﹣4+4）²=5²，解得m₁=， m₂=﹣（舍去），此时Q点坐标为（， ﹣4）；

当AQ=AC时，（m+3）²+（m﹣4）²=5²，解得m₁=1， m₂=﹣0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3）；

当QA=QC时，（m+3）²+（m﹣4）²=5² ，解得m=（舍去），

综上所述，满足条件的Q点坐标为 （，﹣4）或（1，﹣3）；

（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，

则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形。

∴∠OBC=∠QFG=45°。

∴△FQG为等腰直角三角形，

∴FG=QG=FQ，

∵PE∥AC，PG∥CO，

∴∠FPG=∠ACO，

∵∠FGP=∠AOC=90°，

∴△FGP～△AOC

∴=， 即=，

∴PG=FG= •FQ=FQ，

∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，

∴FQ=PQ，

设P（m，m²﹣m﹣4）（0＜m＜4）， 则Q（m，m﹣4），

∴PQ=m﹣4﹣（m²﹣m﹣4）= ﹣m²+m，

∴FQ=（﹣m²+ m）=﹣（m﹣2）²+

∵﹣＜0，

∴QF有最大值。

∴当m=2时，QF有最大值。