学习册 —— 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

21．请阅读下列材料，并完成相应的任务：

在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY。（如图）解决这个问题的操作步骤如下：

第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z。 第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X。

则有AX=BY=XY。

下面是该结论的部分证明：

证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，

又∵∠A'BZ'=∠ABZ ∴△BA'Z'～△BAZ

∴

同理可得 ∴。

∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ

任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；

（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；

（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 　D（或位似）　。

A．平移              B．旋转             C．轴对称           D．位似

【解答】解：（1）四边形AXYZ是菱形。

证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，

∴四边形AXYZ是平行四边形。

∵ZA=YZ，

∴平行四边形AXYZ是菱形。

（2）证明：∵CD=CB，

∴∠1=∠3

∵ZY∥AC，

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3

∴YB=YZ．

∵四边形AXYZ是菱形，

∴AX=XY=YZ

∴AX=BY=XY

（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换。

故答案是：D（或位似）。