学习册 —— 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！

三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）

25．（12分）问题提出

（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　　。

问题探究

（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值。

问题解决

（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°， 所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P， 在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F。 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP。 为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

【解答】解：（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，

∴OA=OB=OC，

∵∠A=120°，AB=AC=5，

∴△ABO是等边三角形，

∴AB=OA=OB=5，

（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，

连接OA，

由垂径定理可知：AM=AB=12，

∵OA=13，

∴由勾股定理可知：OM=5，

∴PM=OM+OP=18，

（3）设连接AP，OP

分别以AB、AC所在直线为对称轴，

作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，

连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，

∴AM=AP=AN，

∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，

∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°，

∴∠MAN=120°

∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，

设AP=r，

易求得：MN=r，

∵PE=ME，PF=FN，

∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，

∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值，

∵AP+OP≥OA，

∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，

设AB的中点为Q，

∴AQ=AC=3，

∵∠BAC=60°，

∴AQ=QC=AC=BQ=3，

∴∠ABC=∠QCB=30°，

∴∠ACB=90°，

∴由勾股定理可知：BC=3，

∵∠BOC=60°，OB=OC=3，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，

∴∠ABO=90°

∴由勾股定理可知：OA=3，

∵OP=OB=3，

∴AP=r=OA﹣OP=3﹣3，

∴PE+EF+PF=MN=r=3﹣9